Algebraic Closure

释义 Definition

代数闭包：在域论中，给定一个域 \(K\)，它的代数闭包是一个扩域 \(\overline{K}\)，满足两点：

1. \(\overline{K}\) 在 \(K\) 上是代数扩张（\(\overline{K}\) 中每个元素都满足某个以 \(K\) 为系数的非零多项式）；
2. \(\overline{K}\) 是代数闭域（任何非零一元多项式在其中都有根）。
   （该术语也常与“代数闭包的唯一性：在同构意义下唯一”一起出现。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌældʒəˈbreɪ.ɪk ˈkloʊ.ʒɚ/

例句 Examples

An algebraic closure of the rational numbers contains roots of every polynomial with rational coefficients.
有理数域的一个代数闭包包含所有有理系数多项式的根。

To study the Galois group, we often embed the field into an algebraic closure and compare how automorphisms act on the roots.
为了研究伽罗瓦群，我们常把该域嵌入到某个代数闭包中，并比较自同构如何作用在这些根上。

词源 Etymology

algebraic 源自 algebra（代数学），强调“由多项式方程决定/满足多项式方程”的性质；closure 在数学里常指“把对象补全到满足某种封闭性质的最小（或标准）环境”。因此 algebraic closure 字面上就是“在代数意义下把一个域补到‘封闭’（所有多项式都有根）的状态”。

相关词 Related Words

• Algebraic
• Closure
• Field
• Extension
• Algebraic extension
• Algebraically closed
• Splitting field
• Galois group

文学与名著中的用例 Literary Works

• Emil Artin, Galois Theory（伽罗瓦理论经典教材中反复使用“代数闭包”来统一讨论多项式分裂与自同构）
• Serge Lang, Algebra（系统介绍域扩张、代数闭包与代数闭域）
• Dummit & Foote, Abstract Algebra（在域论与伽罗瓦理论章节中使用该概念）
• Atiyah & Macdonald, Introduction to Commutative Algebra（在讨论谱与剩余域、代数几何的基础语言时常涉及代数闭包）